CCD 通信电路速成笔记

内容正确性仅限于格院 CCD 这一门课 (更新中)

本笔记是本人电子科技大学格院大三《通信电路设计》课程的期末考试复习笔记, 遵循个人学习习惯与轨迹, 但我将尝试保留所有概念的动机和尽可能地解释原因, 不保证严谨性和绝对正确性.

EXAMPLE 是PPT或往年的经典题目, 框起来的公式要记住, *号章节了解即可.

1 Change of Mind 这个可能有用

• 别当数学来学: 模电里面有很多 abuse of notation (AoN, 比如你看看「增益」这个词在 PLL 里面是怎么用的, dddd) 和抽象指标 (Carson’s rule 首当其冲, Modulation index 等) 和符号, 他们并不值得你品味和推导, 因为这里面人为的因素太多 (比如规定 \(-3\text{ dB}\) 就很小了, Carson 频带内包含 \(98\%\) 的能量等等), 这不是数学, 即使你理解了其推导也没有任何意义.

• 不同问题情景下我们大脑中的模型是不一样的, 比如:

  • 普通电路分析中二极管就是单向导通; 但是 BJT 的 DC 分析中, 要用到 \(0.7\text{ V}\) 的开启电压; 而 AC 分析中由于小信号, \(0.7\text{ V}\) 这个模型就不能用了, 而要用更复杂的 Shockley 方程.
  • 放大电路中 \(C, L\) 都可以看作理想, 但是在 RLC 电路中 (Section 6) 就不行.
  • 适合的模型才是最好的, 不是越复杂越精确越好.

• 关于「电压」和「电流」, 不要认为电压才是我们可以控制的, 然后再通过给电阻来控制电流. 有些元件 (BJT) 其实本质是通过操控电子的流动趋势来主动操控电流, 电流确定了以后, 再通过加电阻来获得电压.

• 关于「背诵」的价值的问题, 有一些是纯 sb (比如某4046的参数, FM 的最大频偏), 还有一些 (IF 放大器比 RF 放大器更不容易发生自激振荡) 这种性质, 如果给足你时间进行分析和实验, 你是可以独立地发现这个结论的. 你不知道这个结论只是时间的问题, 所以你可以非常无负罪感地将它记下来, 因为你明白这不是死记硬背, 而是用前人的经验给自己节约时间¹.

• 考虑负载的习惯: 往往一个电路的性质 (滤波中心频率, 增益) 不仅取决于电路本身的参数, 还取决于你把它接在什么上面 (经典例子 Section 6.4). 你接在了抽象的东西上面, 它的作用也就变了. 这也是引入 「输入阻抗」和 「输出阻抗」 的动机.

• 往往一个问题的解决方法的得出会经历若干个重要思想, 这些思想:

  • 的数量没你想象的多, 可能只有 4-5 个. 以下概念的引入可以称作「思想」:
    • 稳态解和瞬态解是完全不同的两个思维角度: 比如反馈实际上是需要时间的, 输出不断地被送回输入, 然后再改变输出, 再回来改变输入, 这个过程既耗实际时间, 也耗思维时间. 当反馈电路变得很复杂时这个过程几乎不可能被人类的大脑想清楚, 于是我们才用「假设量-列方程」的方法来将这个过程各个量权衡的结果需要满足的关系形式化出来, 我们解方程的过程就已经符号化地完成了整个分析过程并求出了最终的稳态解.
    • Phasor: 正弦波与复数的同构, 接着引入阻抗, 颠覆了我们对信号的 mental picture (“信号是时域的”这种我们自己都无法察觉的直觉).
    • 信号是复值的: 傅立叶变换的基础思维, 这个思想都没有的话你就完全不理解 Fourier.
    • 传递函数及 \(s\) 域: Phasor 只是频谱里的一个频率点了, 频谱甚至可以外延到 \(s\) 域, 发现系统稳定性等可以在 \(s\) 域中很好地描述.
    • 信号流图: 给机械系统、电路系统甚至生物进化等等提供了统一的分析方法, 进而发展出控制论.
  • 不 trivial, 以至于通过这些思想堆叠出来的解决方法看起来非常不直观和莫名其妙. 但是其实他们就是基于这些思想逻辑推理的自然产物²!

¹ 有些数学家对工程学嗤之以鼻的原因本质上是对「经验主义」的怀疑.

² 这一点在纯数上尤为明显.

2 Transistors 晶体管元件

2.1 Diode 二极管 ★☆☆☆☆

以下是二极管的三种由简入繁的模型:

• Forward/Reverse Bias 正/反向偏置

• Threshold / Barrier potential 开启电压 \(V_t\) : PN 结导通所需克服的势垒电压.

  • Silicon 硅管 \(\boxed{V_t = 0.7 \text{ V}}\) (默认这个值!)
  • Germanium 锗管 \(V_t = 0.3 \text{ V}\)
  • BJT 的 BE 间在 DC 工作模式下也有这个开启电压.

• Shockley 二极管方程: \[ I_{\text{D}} = I_{\text{S}} \left( e^{\frac{V_{\text{D}}}{V_{\text{T}}}} - 1 \right) \tag{1}\]

  • \(I_{\text{S}}\) 反向饱和电流 (非常小 \(10^{-15}\)) , \(\boxed{V_{\text{T}} = 25 \text{ mV}}\) 热电压 是常数.
  • “Diode Mixer”

二极管的 Shockley 指数性质

2.2 MOSFET 场效应管 ★☆☆☆☆

• JFET 可近似看作 depletion-mode MOSFET (Figure 1), 因此省略 JFET 的讨论.

• 结构: Gate, Source, Drain 栅极, 源极, 漏极.

  • S 源极指的是电子的源 而不是电流的源. D 漏极同理.
  • 计算题一般假设 \(I_{\text{S}} = I_{\text{D}}\).
  • JFET 的 GS 在 \(V_{\text{GS}}\) 下可能有极微弱的 leakage current³ \(I_{\text{GSS}}\), 造成 input resistance 输入电阻 (很大): \[R_{\text{in}} := \left\vert \frac{V_{\text{GS}}}{I_{\text{GSS}}} \right\vert\]
  • MOSFET 由于有氧化层隔离, GS 无电流.

  

  G 闸门, \(V_{\text{DS}}\) 水压, \(I_{\text{D}}\) 水流

³ AoN, 应该记为 \(I_{\text{GSL}}\) (gate-source leakage).

• MOSFET 分类:

  

  Figure 1: 箭头 in 代表 n-channel

  • P/N channel 通道: 根据沟道类型 (不是 substrate 类型!), 空穴: P channel, 电子: N channel.
  • Depletion/Enhancement mode 耗尽/增强型: 默认 (GSS, gate-source short) 闸门的状态, 导通: depletion, 不导通: enhancement (符号上断开).
  • \(V_{\text{GS}}\) 控制闸门的方法是不一样的 (Figure 1):
    • P-channel D Mode: 正电压 -> 吸引 n substrate 的电子 -> 中和掉 channel 的空穴 -> 截止
    • N-channel D Mode: 负电压 -> 吸引 p substrate 的空穴 -> 中和掉 channel 的电子 -> 截止
    • P-channel E Mode: 负电压 -> 排斥 n substrate 的电子 -> 增加 channel 的空穴 -> 导通
    • N-channel E Mode: 正电压 -> 排斥 p substrate 的空穴 -> 增加 channel 的电子 -> 导通

• 特性:

  • 以 S 源极为基准, 我们关心 \(V_{\text{GS}}, V_{\text{DS}}, I_{\text{D}}\) 三者的关系 (\(I_{\text{D}}\) 曲面)
  • Q-point (Quiescent)⁴: 静态工作点, Figure 2 上的每个点都是 Q-point.
    • 引入 Q-point 的原因是: 半导体元件在不同的输入变化频率下 即使输入的数值相同, 输出会有所差别. Q-point 代表这些点都是在输入变化很慢的情况下测出来的值, 即 DC 工作点、稳态值.
    • 所以模拟电路有必要区分 DC 和 AC 分析, 他们是不一样的.

  

  Figure 2: \(I_{\text{D}}\) 曲面

  • Drain curve 漏极特性曲线: 固定闸门 \(V_{\text{GS}}\) 后的 水压与水流的关系.
    • Ohmic region 欧姆区: 相当于固定电阻. (改变闸门可以充当可变电阻)
    • Active region 饱和区: 水流不变了.
    • Breakdown region 击穿区: 水压太大, 水管坏了.
    • Pinch-off 对应的点是抛物线.

  

  Drain curve 漏极特性曲线

  • Transfer curve 转移特性曲线: 水压足够大时水流和闸门的关系 (\(I_{\text{D}}\) 曲面沿 \(V_{\text{DS}}\) 轴的投影).
    • 抛物线 关系.
    • 默认饱和电流 \(I_{\text{DSS}}\): Drain to Source current with gate Shorted.
    • 跨导 \(g_m\) (电阻的倒数): Drain curve 的斜率, 与闸门电压有关.

  

  Figure 3: Transfer curve 转移特性曲线

⁴ 这是一个典型的教科书讲不明白的问题.

2.3 BJT 三极管 ★★★★☆

大写表示 DC 工作模式 (e.g., \(I_{\text{E}}, \beta_{\text{DC}}\)), 小写表示 AC 工作模式 (e.g., \(I_{\text{e}}, \beta_{\text{ac}}\)). \(\tilde{I}\): phasor, \(i\): 瞬时值.

2.3.1 结构 ★☆☆☆☆

• 结构: Base, Collector, Emitter 基极, 集电极, 发射极.

  • npn, pnp 两种, 因 doping 浓度不同而不对称 ! npn 性能更好.

• 模型及可观测参数

  • r Parameters (resistance): \(r'_e\) (最重要★★★★★), \(r'_b, r'_c, \alpha_{\text{ac}}, \beta_{\text{ac}}\)

  

  Figure 4: 根据 \(r'_b \approx 0\) 和 \(r'_c \approx \infty\) 来简化模型

  • h Parameters (hybrid): (Omitted).

2.3.2 性质 ★★★★★

• 特征曲线
  • 一般都在 active region 工作区
  • \(I_C\) 不一定是 \(I_B\) 的 \(\beta_{\text{DC}}\) 倍, 在饱和区就不行 (Figure 5).

Figure 5: 饱和区没有放大

抽象命名来了, 看看饱和区和工作区是不是你想的那样

• AC & DC 下都有的性质:

  • 箭头代表 总 (E) 电流 参考方向, 不一定是实际电流方向. 三者满足 KCL: \[\boxed{ I_{\text{E}} - I_{\text{C}} - I_{\text{B}} = 0} \tag{2}\]

• DC 工作模式性质:

  • \(\alpha, \beta\) 参数:\[ \alpha_{\text{DC}} := \frac{I_{\text{C}}}{I_{\text{E}}} \approx 0.99, \quad h_{\text{FE}} = \boxed{\beta_{\text{DC}} := \frac{I_{\text{C}}}{I_{\text{B}}}} \approx 99\]
  • B, E 可看作导通的二极管, PN结之间存在开启电压: \[\boxed{V_{\text{BE}} = V_t \approx 0.7 \text{ V}}\]

• AC 工作模式性质:

  • 发射极动态电阻 \[\boxed{r'_e \approx \frac{V_T}{I_{\text{E}}} = \frac{25\text{ mV}}{I_E}}\]

  • \(\beta\) 参数: \[ \beta_{\text{ac}} := \frac{\Delta I_{\text{C}}}{\Delta I_{\text{B}}}\]

    • 造成 \(\beta_{\text{DC}} \neq \beta_{\text{ac}}\) 的原因是 \(I_{\text{C}}\)-\(I_{\text{B}}\) 关系是曲线:

    

    DC 模式相当于全局的流形, AC 模式相当于局部的切空间

有关 \(V_T\) 和 \(V_t\)

Mental picture: 当我们将信号输入到 BJT 的 Base 时, 几乎就是 DC 信号, 波动幅度非常小!

BJT 正常工作时, 将 BE 看作导通的二极管, 自然有电压 \(V_t \approx 0.7 \text{ V}\). \(r'_e\) 不能被 DC 信号感受到, 只有小信号才能感受到. 小信号需要用更精确的模型 Equation 1 来计算. Figure 6 在 \(V_{BE} = 0.7\text{ V}\) 处的斜率就是 \(r'_e\) 的倒数: \[ \text{slope}|_{V = 0.7\text{ V}} = \frac{I_S}{V_T} \cdot e^{\frac{V}{V_T}} = \frac{1}{r'_e} \]

我们 利用 Equation 1 将 \(e^{\frac{V}{V_T}}\) 用 \(I_E\) 表示: \[ \text{slope}|_{I = I_E} = \frac{I_S}{V_T} \cdot \left(\frac{I}{I_S} + 1\right) = \frac{I}{V_T} + \underbrace{\cancel{\frac{I_S}{V_T}}}_{\to 0} = \frac{1}{r'_e} \]

求得: \[ r'_e = \frac{V_T}{I} \]

\(I\) 就是当前 E 上的直流电流大小!

Figure 6

3 Network Analysis 网络分析 ★★☆☆☆

3.1 Thevenin & Norton 定理

任何一个只有电压源、电流源和电阻的网络, 都可以等效为 一个有内阻的电压源 或 一个有内阻的电流源⁵.

⁵ 任何线性二端网络都可以这么等效, 原因是电源的 \(V\)-\(I\) graph 是直线! 而非理想的 电压源 和 电流源 也是直线, 二者自由度都是 \(2\), 因此相互等价.

\[ \boxed{ \begin{aligned} V_{\text{TH}} &= V_{\text{open}} \\ I_{\text{N}} &= I_{\text{short}} \\ R_{\text{TH}} &= R_{\text{N}} = \frac{V_{\text{open}}}{I_{\text{short}}} \\ \end{aligned} } \tag{3}\]

Thevenin 等效 和 Norton 等效

3.2 Input & Output Impedance 输入/输出阻抗

一个线性网络作为负载时一定可以等效成一个电阻 (输入阻抗), 作为电源时一定可以等效成一个非理想电压源或电流源 (内阻就是输出阻抗).

• \(R_{\text{in}}\) 就是该网络作为负载时两端的电压和电流之比.

4 Amplifier Circuit 放大电路分析 ★★★★☆

4.1 分析纲领 ★★★★★

一个放大电路对 DC 和 AC 的作用是单独的, 我们先分开分析, 实际上的情况是两个分析结果的叠加!

电容通交隔直

• DC 和 AC 的情况下, 放大电路的等效电路是不一样的.

• 我们只需要考虑等效电路, 电容和电感在等效电路中是不存在的.

  • DC 分析:

    • 电容开路, 电感短路⁶.

    • 画 Thevenin 等效电路

      

      Figure 7: DC等效电路 及其Thevenin等效

  • AC 分析:
    • 电容短路, 电感开路.
    • \(V_{\text{CC}}\) 相当于接地 (任何不变的信号都相当于接地)
    • 电压、电流默认取 RMS \(V_{\text{rms}}\) 计算 (峰值也行其实), \(\boxed{V_p = \sqrt{2} V_{\text{rms}}}\)
    • Bypass Capacitor: 与某个电阻 \(R\) 并联的电容, 使得交流信号在至少 \(f_{\min}\) 频率下看起来无阻抗, \(C\) 必须足够大 (\(X_C\) 必须足够小): \[\boxed{X_C \le \frac{R}{10}}\]
  • 将等效电路中的 BJT 换成 Figure 4 (b) 中的模型, 然后当作正常电路分析即可.

⁶ 理想电容记为 \(C_{\infty}\), 理想电感记为 \(\text{RFC}\) (Radio Frequency Choke).

• 最后 DC 和 AC 的结果叠加起来, 注意 这时候 \(V_{\text{CC}}\) 不能接地了⁷, 所有元件都正常.

⁷ 特别是在分析为什么 Common Emitter 相位是 180 度的时候, \(V_\text{C} = V_{\text{CC}} - I_\text{C} R_\text{C}\), \[V_B \uparrow \implies I_B \uparrow \implies I_C \uparrow \implies V_\text{C} \downarrow\]

EXAMPLE: Thevenin 等效电路

求解 Figure 7

Figure 7 中 \(A\) 点电压不能直接分压求解! 虽然 \(I_{\text{A}}\) 很小: \[ V_A \neq \frac{R_2}{R_1 + R_2} V_{\text{CC}}\]

要用 Thevenin 等效电路求解!

EXAMPLE: Bypass Capacitor 大小的计算

Bypass Capacitor 大小的计算

5 Mixer Circuit 混频电路 ★★★☆☆

• 目的: 其实就是完成了调制和解调的时候将两个正弦信号 \(v_1, v_2\) 乘在一起的过程
  • \(v_1 = V_1 \cos(\omega_1 t), v_2 = V_2 \cos(\omega_2 t)\)
  • 一般要结合滤波器保留需要的频率成分 (上边带 \(\omega_1 + \omega_2\) 或 下边带 \(|\omega_1 - \omega_2|\), 为了区分 Rejection 滤波, 姑且叫做 “Second” 滤波⁸).
• 由于产生了新的频率成分, 需要引入二极管之类的非线性元件.

⁸ 我自己起的名字, 只是因为他在 Rejection 滤波器之后.

5.1 Common Mixer 常见混频器

5.1.1 Diode Mixer 二极管混频器

Figure 8

• Figure 8 1 点电压 \(V_1 = (v_1+v_2)/2\), 也可以简单地串联 \(v_1, v_2\).
• Diode Mixer 要求 \(v_1, v_2\) 很小 (所以 \(i_D\) 也很小), 二极管要用 Shockley 方程 来建模!
• 由 Taylor 展开 Shockley 方程, \(i_D\) 有 \(v_D, v_D^2, v_D^3, \cdots\) 成分, 分别对应:
  • 一次谐波: \(\omega_1, \omega_2\)
  • 二次谐波: \(2 \omega_1, 2 \omega_2, \omega_1 + \omega_2, |\omega_1 - \omega_2|\)
  • 更高次谐波 …

二极管混频器输出的频谱

5.1.2 BJT & JFET Mixer 晶体管混频器

Figure 9: 以 BJT Mixer 为例

• BJT 的 B, E 间其实是隐藏的二极管 (见 Section 2.3.2)
• BJT Mixer 自带放大效果 (输出的电流可以比较大).
• Figure 9 的 \(L, C\) 是带通滤波器 (“Second” 滤波)
• 若换成 JFET Mixer, 不再满足 Shockley 方程, 而是 Transfer curve 的二次关系 (Figure 3), 没有高次谐波成分了, nice!

5.1.3 Dual-Gate MOSFET Mixer

(Omitted)

5.1.4 Ring Modulator 环形调制器

环形调制器输入 \(e_i\) 输出 DSB-SC 调制信号, 载波一般用矩形波

5.2 Image Frequency 镜像频率

• 混频器输出的二次谐波里的 \(|\omega_1 - \omega_2|\) 项不仅有希望的 \(f_{\text{RF}}\) 频率, 还有可能存在的 镜像频率 \(f_{\text{image}}\).

• Image frequency rejection: 当我们 mixing 后需要保留 \(|\omega_1 - \omega_2|\) 成分时, 我们不希望受到 \(f_{\text{image}}\) 的干扰, 所以加一个 BPF 来滤掉它 (Figure 10)

Figure 10: Rejection 滤波器例子

Figure 11: 用带通滤波器滤掉可能存在的镜像频率, 定量分析见 Section 6

6 RLC 电路作为滤波器

这门课中 含有 RLC 这个电路整体的地方包括: Image Rejection 滤波器, 振荡器的反馈电路, PLL 的 loop filter 低通滤波, 我们单独来看一看.

6.1 Resonance 协振

• Tank circuit: \(LC\) 电路中是有储存的能量的, 所以称为 Tank.

• Flywheel effect: \(LC\) 电路中 \(L\) 和 \(C\) 之间有能量交换 (用弹簧振子类比, 弹性势能和动能之间的交换).

• 协振时 \[X_C + X_L = 0 \implies \frac{1}{Cj\omega_0} + Lj\omega_0 = 0 \implies \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{CL}}} \tag{4}\]

6.2 Q-factor 品质因数

Q-factor 在一阶系统和二阶系统都有定义, 且不太一样.

6.2.1 一阶系统 (Omitted)

6.2.2 二阶系统 (\(C, L\) 都存在)

• Q-factor 衡量了一个电路的滤波品质. \(Q\) 越大, 滤波器的频率选择性越好.

• 等价定义(或推论):

  • 二阶系统 (如弹簧振子模型) 在共振(协振 resonance)条件下 (\(\omega_0\)), 系统储存的能量与一个周期内消耗的能量 (在 \(R\) 上) 之比, 的 \(2\pi\) 倍: \[ Q := 2\pi \cdot \frac{ \text{Energy stored}}{\text{Energy dissipated in one period}}\]
  • 串联协振: \[ Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R}\] 并联协振: \[ Q = \frac{R}{\omega_0 L} = \omega_0 C R\]
  • \[\boxed{Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega}}, \Delta \omega = \omega_2-\omega_1, \quad \text{when } 20\lg|H(\omega)| = -3\text{ dB} \tag{5}\]

「半功率」点 \(-3\text{ dB}\) 对应的 \(\omega\) 叫 截止频率, \(|H|^2 = 0.5\).

6.3 RLC 电路作为 Image Rejection 滤波器

将 Figure 10 作为一个整体, 其 admittance (导纳) \(Y\) 跟输入频率有关, 算出来是: \[ \boxed{ |Y| = Y_0 \sqrt{1+(\delta Q)^2} } \] 其中 \(Y_0\) 是电路在协振 \(\omega_0\) 时的导纳. \(\delta := \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\), \(Q\) 是品质因数.

给 \(a, b\) 输入相同的电流 phasor \(\tilde{I}\), \(\tilde{V}_{ab}\) 的长度代表了滤波后的电压信号振幅, 由 \(|\tilde{V}_{ab}| = |\tilde{I}| / |Y|\) 知: 滤波器的输出反比于 \(|Y|\).

以 \(\omega_0\) 点为参考, 定义滤波器在 Figure 11 的 \(\omega\) 点的 attenuation \(|A_r|\) 为 (一般还要化成 \(\text{dB}\) 单位): \[ \boxed{ |A_r| := \left|\frac{\tilde{V}_\omega}{\tilde{V}_{\omega_0}}\right| = \frac{Y_0}{Y} = \frac{1}{\sqrt{1+(\delta Q)^2}} } \]

EXAMPLE: RLC Rejection 滤波器 attenuation 的定量分析

6.4 RLC 电路作为振荡器的反馈电路 ★★★★★ (See Section 7.2)

6.4.1 Phase-shift oscillator 只有 \(RC\) 的反馈

Figure 12 结构的振荡器输出的中心振荡频率 \[\boxed{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{6}RC}} \tag{6}\]

Figure 12: Phase-shift oscillator 的反馈电路结构

Equation 6 推导过程

Figure 13: Phase-shift oscillator 的中心频率的推导过程

注意: 不能用三个 \(RC\) LPF 的连级来计算!, 因为每加一个 \(RC\) 就相当于加了负载 (见 Section 1), 会影响之前的电路的滤波性质:

加 Buffer 才能用连级的思想

EXAMPLE: 用 Equation 6 来计算输出频率

6.4.2 Tapped network 含 \(RLC\) 的反馈

Tapped network: 一个电路从中间某两个部分引出两条线⁹ (称为 “tap”) 分别作为输入和输出后形成的二端网络.

⁹ 比如滑动变阻器的滑片可称为 “tap”.

Figure 14: Tapped network 例子

• 根据所用的不同 Tapped network (Figure 14), 给振荡器起了不同名字 (仅仅是起个名字): Hartley, Colpitts, etc.

• 这里题目一般只会叫你算中心频率 \(\omega_0\), 只要将他给的电路进行 AC 等效, 然后与 Figure 16 进行对比找出 \(\beta(s)\) 的部分, 这个部分含有一个 \(LC\) 协振电路, 是一个 BPF, 所以其协振频率就是振荡器的输出频率 \(\omega_0\)!¹⁰

¹⁰ 这也是为什么协振频率和振荡器的输出频率是都用 \(\omega_0\) 表示的原因.

EXAMPLE: 找出下面振荡器的反馈部分 并算出其输出频率

Hartley: \(\omega_0 = 1/\sqrt{(L_1+L_2)C}\)

Hartley: 跟左边一样

Colpitts: \(\omega_0 = 1/\sqrt{[C_1C_2/(C_1+C_2)]L_1}\)

6.5 \(RC\) 电路作为 PLL 的 Loop Filter

Figure 15: \(RC\) 低通滤波器

• Figure 15 的传递函数为: \[F(s) = \frac{1}{1+RCs}\] 其 截止频率 \(\omega_p\) 来自「半功率」点: \[|F(s)|^2 = \frac{1}{1+(RC\omega_p)^2} = \frac{1}{2} \implies \boxed{\omega_p = \frac{1}{RC}}\]

7 Oscillator Circuit 振荡器 ★★★☆☆

程序的执行需要时钟, 我们需要一个电路, 它可以自发持续稳定 (而不是像 \(LC\) 电路被动地) 地输出一个周期信号 (e.g., 正弦波), 称为振荡器. 如果频率还能调整的话就更好 (VCO, Voltage Controlled Oscillator).

7.1 电路振荡要满足的条件

Figure 16: 用正反馈来产生自发振荡

• 为什么会自发震荡?
  • 噪声不可避免
  • 噪声中含有所有的频率, 通过线性系统有制造出任意想要的频率的潜力.
  • 我们希望小噪声在正反馈系统里不断被「放大」¹¹ (用 \(A(s)\)), 而且能够筛选出我们想要的频率 \(\omega_0\) (用 \(\beta(s)\), \(\omega_0\) 是振荡器的自发频率, 称为中心频率或工作频率, 是反馈 \(LC\) 电路中的协振频率).
• Barkhausen Stability Criterion 巴克豪森准则: Figure 16 要振荡, 必须满足 (但不保证振荡): \[ \boxed{ \begin{cases} |A \beta| \ge 1 \\ \angle (A \beta) = 0 \end{cases} } \]

¹¹ 在 Section 1 中我们提到过「信号是复值的」, 这意味着「放大」这个词不一定代表指数增长的信号, 也代表正弦信号, 指数信号和正弦信号的在复数看来本质是一样的.

Barkhausen 准则的理解

一个小噪声在 \(\omega\) 频点每经过一次系统回来后都被「放大」了: \[ H(j \omega) = A(j \omega) \beta(j \omega) \]

那这个信号一遍又一遍经过系统出来以后被「放大」了: \[ 1 + H(j \omega) + H(j \omega)^2 + H(j \omega)^3 + \cdots \tag{7}\]

这是一个等比数列, 要想震荡, 这个值一定不能收敛, 也就是公比不能太小: \[ |H(j \omega)| \ge 1 \]

另外回来的相位必须跟原来同向 (相位差是零, \(\angle(A \beta) = 0\)), 不然 Equation 7 的每一项就会均匀分布在复平面上, 会被平均掉.

真实的过程就是 Equation 7 的求和是很快地一项一项求和 (因为反馈是需要时间的, 如果反馈不需要时间就不会震荡了, 如果宇宙是计算机的话, 直接 run time error), 如果发散的话就一直来回变化怎么也停不下来, 也就是在时间上震荡, 如果我们直接列方程求解的话是想一步到位求出稳态 (见 Section 1), 但是它收敛不了, 最后的结果就是无穷大.

如果我们要输出固定的频率的话, 只需要在反馈的过程中让 \(\beta(s)\) 筛选出我们想要的频率就行了 (BPF).

7.2 设计正反馈电路

现在要设计 Figure 16 中的反馈电路 \(\beta(s)\), 目标是要跟 \(A(s)\) 一起满足 Barkhausen 准则, 而且要滤出所需震荡频率 \(\omega_0\). 简单起见, 就用 \(LC\) 电路吧.

• 这个正反馈电路可以只含有 \(RC\) 元件, 也可以利用 \(RLC\) 的协振, 所有内容见 Section 6.4.2.

7.3 VCO (Voltage Controlled Oscillator) 电压控制振荡器

VCO 接收一个电压¹² \(V_o\), 输出一个频率与之 近似线性 的周期信号.

¹² Notation 开始变得抽象了, 用 \(V_o\) 是因为 PLL 里面 VCO 的输入是 LPF 的输出, 所以用 out.

Figure 17: VCO 输入输出近似线性 (见 Equation 8)

• Varicap diode 可变电容: 这种电容的电容值 \(C_D\) 可通过外界输入的电压 \(V_D\) 来调节 (\(C_0 \approx 18\text{ pF}\) 是 \(V_D\) 等于零的电容值): \[\boxed{C_D = \frac{C_0}{\sqrt{1 + \frac{|V_D|}{0.5}}}}\]
  • VCO 就是用了 varicap diode 的自发 oscillator, 通过输入电压, 改变电容值, 进而通过 Equation 4 改变振荡频率.

7.4 PLL (Phase Locked Loops) 锁相环 ★★★★★

锁相环可以看作 VCO 的应用, 它接收一个周期信号, 输出一个与之相位同步 (当然频率也要一样) 的周期信号 (正弦波或方波).

Figure 18: PLL 都有的结构, LPF 也叫 Loop Filter

• PLL 工作的几个阶段 Stages:
  • Free running: 没有输入, PLL 也会有输出, 频率是 VCO 的中心频率 \(\omega_0\).
  • Capture: 突然输入一个周期信号, 只有当这个信号的频率接近 \(\omega_0\) 时 (具体来说, 要在 Capture range 捕获范围内), 输出才能锁定到输入.
  • Lock: 输出锁定到输入. 而且我们可以改变输入频率, 但是不能超过 Lock range 锁定范围 (大于捕获范围!), 不然失去锁定.

PLL 的锁定范围大于捕获范围

• Figure 18 中模块的细节¹³:
  • Phase Detector 鉴相器 (PD): 输入两个周期信号 (\(v_i(t), v_{\text{osc}}(t)\)), 输出他们的某种运算后的信号 \(v_{\varphi}(t)\) (一般是乘积 (用 Mixer), 或 \(XOR\))
    • Phase Detector Gain 鉴相器增益¹⁴: \[\boxed{V_o = \textcolor{green}{{K_D}} \Delta \varphi}\]
    • \(K_D\): 增益, \(\Delta \varphi\): PD 输入的两路信号的相位差.
  • Loop Filter 低通滤波器: 对 \(v_{\varphi}(t)\) 进行平滑 (滤波), 变成近似直流信号 \(V_o\), 这个电压反应了 \(v_i(t)\) 和 \(v_{\text{osc}}(t)\) 的相位差. (具体电路见 Section 6.5)
  • VCO
    • Frequency sensitivity (gain) 频率灵敏度 (增益)¹⁵: \[\boxed{\omega_{\text{osc}} = \omega_0 + \textcolor{green}{K_O} V_o} \tag{8}\]
    • \(K_O\): 频率灵敏度
    • 输入为 \(0\) 时也有频率 \(\omega_0\) (Figure 17).
  • Loop Gain 总增益: \[\boxed{\textcolor{green}{{K_V}} := \textcolor{green}{{K_D K_O}}}\]

¹³ 抽象 Notation 来了, 大家坐稳.

¹⁴ 准确来说应该是 PD 和 LPF 的组合增益. 这个组合的输入「被隐性地认为」是相位差 (而不是输入信号本身), 输出就是正常的电压.

¹⁵ 开始 AoN 了, 如果 VCO 的输入是电压, 输出是正弦波, 增益应该是输出比输入, 但 \(K_O\) 的定义中输出好像变成了频率而不是信号值本身了. 这样的 AoN 在 PLL 中很多, 要注意说增益的时候输入、输出「被隐性地认为」是什么: 信号值, 频率还是相位!

7.4.1 4046 PLL

4046 PLL 是一种只能输入和输出方波的锁相环 (因为用了 \(XOR\) 做 PD)

• VCO 增益可以通过 \(C_1, R_1, R_2\) 来调节:
  • 为了正常工作, 必须满足¹⁶: \(\boxed{100\text{ pF}\le C_1 \le 100\text{ nF}, 10\text{ k}\Omega \le R_{1,2} \le 1\text{ M}\Omega}\)
  • Figure 17 中的 \(\omega_{\min}\) 和 \(\omega_{\max}\) 也可调¹⁷: \[ \boxed{ \begin{aligned} \omega_{\min} &= \frac{1}{R_2(C_1 + 32\text{ pF})} \\ \omega_{\max} - \omega_{\min} &= \frac{1}{R_1(C_1 + 32\text{ pF})} \end{aligned} } \]

¹⁶ 这 sb 玩意儿都要背, 真是佛了.

¹⁷ ppt 上写的是 \(f\) 而不是 \(\omega\), 但用 \(f\) 明显单位不对啊, 牛魔的.

8 Modulation & Demodulation 调制解调 ★★☆☆☆

Modulation 调制是用某个高频 (e.g., \(1\text{ GHz}\)) 的 carrier 载波信号 的某个特性 (幅度, 频率, 相位) 来表示一个低频 (\(200\sim 3\text{ kHz}\)) 的 intelligence / message 信息信号 的过程.

• 不调制的问题:
  • 信号频率都相近, 信号间会 interference 干扰.
  • 低频信号传输需要几千米长的天线

Notation

• Intelligence 信息信号¹⁸: \(e_i = E_i \cos(\omega_i t)\) (若不是正弦信号, 则约定 \(E_i := |\min(e_i)|\))
• Carrier 载波信号¹⁹: \(e_c = \cos(\omega_c t)\)
• Modulated 调制信号: \(e\)

¹⁹ 这里用 normalized 归一化的载波信号, PPT 上是 \(e_c = E_c \cos(\omega_c t)\), 但是后面乘载波的时候又用的是 \(\cos(\omega_c t)\), 回字的四种写法, 研究这个没有意义.

¹⁸ 注意跟 modulated 调制信号区分开来.

8.1 AM 调幅

AM 调制信息在幅度里面. 而且有很多种 AM 的方法²⁰: DSB-SC (omitted), DSB-WC, SSB, VSB, etc.

²⁰ Abbr. Double/Single/Vestigial (残留) Sideband- Suppressed/With Carrier.

8.1.1 AM 方法1: DSB-SC

DSB-SC 调制框图古早笔记

Figure 19: DSB-SC 调制框图 (省略所有放大器)

• Figure 19 中的乘法器一般用 Ring Modulator 环形调制器 (见 Section 5.1.4).
  • 生成 SC 调制信号的调制器都叫 Balanced Modulator 平衡调制器, Ring Modulator 是 Balanced Modulator 的一种.

8.1.2 AM 方法2: DSB-WC

目标: 调制信号的 包络 要能还原原始信息信号的波形.

Figure 20: DSB-WC 调制框图 (省略所有放大器)

• DSB-WC (Double Sideband With Carrier) 调制出来的信号: \(e(t) = (e_i(t) + E_c) \cdot e_c(t)\)

• Modulation Index 调制指数²¹: (见 Figure 20) \[\boxed{m_a := \frac{E_i}{E_c}}\]

  • Under-modulation: \(m_a \le 1\), 有效的调制.
  • Over-modulation: \(m_a > 1\), 包络会被削顶, 无法还原原始信息信号的波形.

²¹ 这是一个典型的工程上一拍脑袋想出来的鸡肋度量, 三种调制都有这个概念, 但都不能用统一起来, 极不富有美感.

不同的调制指数

• Transmitted Power 传输功率: 当 \(e_i\) 为正弦信号时我们有: \[\boxed{P_t = P_c \left(1 + \frac{m^2}{2} \right)} \tag{9}\]
  • 载波信号的功率 \(P_c = E_c^2/2\)
  • 传输载波的功率至少占了 \(2/3\) (\(m = 1\) 时).
  • 若将 \(e_c\) 和 \(e\) 功率信号分别接到天线 (视为一个电阻 \(R\)) 上, 产生了电流 \(I_c, I_t\). 由 \(P = I^2 R = V^2/R\) 知, 功率大的信号 \(e_c\) 产生了更大的电流和电压 (正比于幅值 \(E\)): \[\boxed{I_t = I_c \sqrt{1 + \frac{m^2}{2}}, \quad E_t = E_c \sqrt{1 + \frac{m^2}{2}}}\]

Equation 9 的推导

Figure 20 中调制信号 \[ \begin{aligned} e &= (e_i + E_c)e_c \\ &= E_c (m \cos(\omega_i t) + 1) \cdot \cos(\omega_c t) \\ &= \underbrace{E_c \cos(\omega_c t)}_{P_1=\frac{E_c^2}{2}} + \underbrace{\frac{E_c m}{2} \left[\cos((\omega_c + \omega_m)t) + \cos((\omega_c - \omega_m)t)\right]}_{P_2=\left(\frac{E_c m}{2}\right)^2} \end{aligned} \]

总传输功率 \[ P_t = P_1 + P_2 = \frac{E_c^2}{2} \left(1+\frac{m^2}{2}\right) \]

• High / Low Level Modulation 高/低电平调制: 实际调制过程中 在输入和调制信号发射之间 肯定包含信号的放大 (Figure 20 省略了), 是先调制再放大 还是 先放大再调制呢? (都可以)

  • High Level Modulation: 先放大再调制, 适合高功率要求²², 如radio broadcasting 广播塔台.
  • Low Level Modulation: 先调制再放大, 适合功耗低、低功率要求, 如通信模块.

²² 为什么不能都用这种调制方法? 有一类放大器 (Class C) 对纯载波 \(e_c\) 的功率放大效果非常好, 但是是非线性的, 所以不能用于放大 \(e\).

8.1.3 AM 方法3: SSB ★★★★★

动机: 我们发现 (Figure 20) 在 DSB 中调制信号的频谱上有两份原始信息, 为了减小带宽资源, 可以用 SSB Generator²³ 只传输一份 (USB 或 LSB²⁴) 就可以了, 这就是单边带调制.

²³ SSB Generator 的实现方法包括: phase shift, selective filtering (包括 One-step 和 Two-step 版本), Weaver’s method (“Third Method”), etc.

²⁴ Abbr. Upper/Lower Sideband.

Figure 21: SSB 简化的调制框图 (省略所有放大器)

• SSB 与 SSB-SC²⁵: SSB 不传输载波, 但 SSB-SC 传输一个微弱载波! 我没写反.
  • Suppressed Carrier 又称 Pilot Carrier (导频载波), 可进行同步.

²⁵ 这样命名是生怕老子学会吗, 不知道你佛不佛, 反正我是佛的.

• SSB 的优点:
  • 节省了传输载波和其中一个边带的功率
  • 接收端噪声能量少. 因为 SSB 的带宽小, 接收端滤波器带宽也会小, 而噪声功率 \(\propto\) 带宽.
  • 抗选择性衰落 (Selective Fading). Figure 19 双边带解调端信号的重建用到两个边带的叠加, 不同频的边带从电离层 (ionosphere) 反射回来后折射角和路径不同 (选择性衰落), 使得两个边带不对称, 重建信号失真. 而 SSB 只用一个边带, 不受选择性衰落影响.
• SSB Selective Filtering:
  • 是 SSB 调制信号产生的其中一种电路实现.
  • 原始信号必须要有 Band Gap \(\Delta f\). (比如人声音一般大于 \(100\text{ Hz}\), 所以人声信号 \(\Delta f = 200\text{ Hz}\), 见 Figure 23)
  • 需要一个高 roll-off 的滤波器 (原因是 Band Gap 很小), 其 \(Q\)-factor 为: \[\boxed{Q = \frac{f_c \sqrt{|H|}}{4 \Delta f}}\] 其中 \(|H|\) 是该滤波器的传递函数在 Rejected Sideband 上的取值 (一般告诉你多少 \(\text{dB}\)).
  • (Two-step) SSB Transmitter 发射机:

    • 动机: Cut-off frequency 很高的滤波器很难有很高的 roll-off. 传输的频率一般要达到 \(\text{MHz}\), 如果将 \(e_i\) 直接搬移到这个频率, 很难造出高 roll-off 的滤波器进行 SSB filtering. 但是低截止高 roll-off 的滤波器还是有的. 所以我们先将 \(e_i\) 用这个滤波器搬移到一个低的频段, 用低截止高 roll-off 的滤波器滤波 (相当于增大 Band Gap), 再用一个高截止低 roll-off 的滤波器进行真正的 SSB Filtering. 即先增大 Band Gap, 再 SSB Filtering.

      

      Figure 22: SSB “Two-step Method” 调制过程, 信号频谱变化 Figure 24

EXAMPLE: SSB Selective Filter 的 \(Q\) 计算

Figure 23: \(\log^{-1} x = 10^x\) 抽象符号

Two-step SSB 调制框图 (Figure 22) 详细过程古早笔记

Figure 24: Two-step SSB 调制信号图

EXAMPLE: Two-step 方法中第二个滤波器的 \(Q\)-factor 计算

HINT: 用 Equation 5 来算 \(Q\). 说实话说这个中心频率应该取 \(3.1\text{ MHz}\) 或 \(2.9\text{ MHz}\), 这道题不好

“In the previous slide” 指 Figure 22

8.1.4 *AM 方法4: VSB {#sec-vsb}

VSB 提供了针对 SSB 中高截止、高 roll-off 的滤波器难以实现的问题, VSB 滤波器不要求高 roll-off, 只需满足一些条件 (易于满足, 见 Figure 25) 即可. SSB 可看作 VSB 的特例.

VSB 调制框图古早笔记

VSB 很聪明地利用了解调的时候两边的频谱会合起来的特点, 不需要他们完全不重合, 只需要他们重合的部分加起来刚好是原来的频谱就行.

Figure 25: VSB 调制框图 (省略所有放大器)

8.2 PM & FM 角度调制

我们会看到 (Equation 10, Equation 11) PM 和 FM 的本质是一样一样的, 这是因为 frequency 和 phase 是密切相关的, 频率是相位的导数, FM 调 \(e_i\) 相当于 PM 调 \(e_i\) 的积分; PM 调 \(e_i\) 相当于 FM 调 \(e_i\) 的微分, 所以它们统称为角度调制.

• Let \(e(t) = \cos (\varphi(t))\), (e.g., \(\varphi(t) = \omega t + \theta\))

  • 称 \(\varphi(t)\) 为 Phase 相位.
  • 称 \(\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} t\) 为 Instantaneous frequency 瞬时频率.

• PM 目标: 让 \(e(t)\) 与 \(e_c(t)\) 的 相位差 正比于 \(e_i(t)\) 的幅度: \[\varphi(t) = \omega_c t + \underbrace{k_p e_t(t)}_{\Delta \varphi} \tag{10}\]

  • Modulation Index 调制指数: 调制信号 \(e\) 的最大相移: \[\boxed{m_p := (\Delta \varphi)_{\max}}\]

• FM 目标: 让 \(e(t)\) 与 \(e_c(t)\) 的 瞬时频率差 正比于 \(e_i(t)\) 的幅度: \[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \varphi(t)}{\mathrm{d} t} &= \omega_c + \underbrace{k_f e_t(t)}_{\Delta \omega} \\ \implies \varphi(t) &= \omega_c t + \underbrace{k_f \int_{-\infty}^{t} e_t(\tau) \mathrm{d} \tau}_{\Delta \varphi} \end{aligned} \tag{11}\]

  • Modulation Index 调制指数: 信息信号 \(e_i\) 最大的频率 反映到调制信号 \(e\) 的最大频偏上 缩小了多少: \[\boxed{m_f := \frac{(\Delta f_e)_{\max}}{(f_i)_{\max}}}\]
  • 广播 FM 最大频偏默认值: \[\boxed{(\Delta f_e)_{\max} = 75\text{ kHz}}\]

• Carson’s Rule 卡森规则 ★★★★★

  • 引入动机: \(e(t)\) 的瞬时频率范围 \(\neq\) \(e(t)\) 的频谱带宽!!! (\(e(t)\) 的带宽比 瞬时频率范围 要宽)
  • 对于 FM, \(e\) 的 非负频率带宽 大致为 \(m_f\) 的分子分母加起来 (的两倍): \[B = 2 \left((\Delta f_e)_{\max} + (f_i)_{\max} \right)\]
  • 对于 PM, 相当于对 \(e_i\) 的导数进行 FM 调制.
  • Bessel 函数: 可用于定量计算单音信号 \(e_i = \cos(\omega_i t)\) 的频谱 (注意只是单音信号). 由计算²⁶可知单音信号的 FM 调制波的频谱是离散的, 第 \(n\) 个 频点上的幅度正比于 第一类 Bessel 函数的系数 \(J_n(\beta)\).

²⁶ Jacobi–Anger 展开: \[\cos\left(\omega_c t + \beta \sin \omega_m t\right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta) \cdot \cos\left[(\omega_c + n\omega_m)\,t\right]\]

8.3 RF 接收机与解调

前面我们单独粗略地介绍了一些 AM 的接收机, 现在我们来RF 接收机要做的就是接收调制信号 \(e(t)\) 并尝试复原出原始信息信号 \(\hat{e}_i(t)\)

9 A & D 模数转换 ★★★★★

9.1 Op-amp 运算放大器

运算放大器用了反馈电路来实现放大, 微分, 积分等运算. 这些你都不需要会, 这些反馈最后的结果就是下面的模型, 用他们对付模数转换足够. (思想见 Section 1)

\[ \boxed{ \begin{aligned} I_{R_1} &= I_{R_2} \\ \implies \frac{V_{\text{in}}}{R_1} &= -\frac{V_{\text{out}}}{R_2} \end{aligned} } \]

用跷跷板来思考 Op-amp, \(+\) 接地相当于 \(-\) 接地

9.2 DAC²⁷

• 为什么需要 DAC? (数字信号的局限性²⁸)
  • 我们 percept 到的信号是模拟的 (比如声音)
  • 世界是模拟的, 只有模拟信号才能跟他们 interact (DAC as a bridge)
  • 数字化的过程中有信息损失

²⁸ 资产阶级的局限性 (幻视

• 电路实现

  • Weighted Resistor DAC

    

    Figure 26: Weighted Resistor DAC: 通过调整 \(R_1\) 来实现 DAC, 用导纳思考更好, 一般情况下 \(R_f = R\)

    • Motivation: 一个很自然的想法是利用 Op-amp, 通过数字输入 \(D = [D_3:D_0]\) 来控制接入电阻的数量, 进而控制 \(R_1\) 的大小, 我们期待 \(D\) 越大, \(R_1\) 越小, 这样 \(V_{\text{out}}\) 就会越大, 即 \(R_1\) 的导纳满足: \[Y_1 \propto D_0+2D_1+4D_2+8D_3\]
    • \(Y_1\) 和 \(D\) 的关系: \[\boxed{Y_1 = \frac{1}{R}\left(\frac{D_0}{8} + \frac{D_1}{4} + \frac{D_2}{2} + D_3\right)}\]
    • 局限性: 电阻随比特数指数级增大, 需要精确的电阻

  • R-2R Ladder DAC²⁹

    

    R-2R Ladder DAC: 用电流思考而不是等效电阻 \(R_1\), 一般情况下 \(R_f = R\)

    • 这个结构要论证叠加的话别看等效电阻 \(R_1\), 看电流, 电流满足叠加定理.
    • 推导可用 Figure 27 树结构思考. 先只考虑单独接通一个节点 (注意没接通的节点是接地而不是浮空!!) 上面的节点接通电流最大, 从上到下指数减小, 因此上面节点是 \(D\) 的高位.
    • \(Y_1\) 和 \(D\) 的关系: \[\boxed{Y_1 = \frac{1}{R}\left(\frac{D_0}{16} + \frac{D_1}{8} + \frac{D_2}{4} + \frac{D_3}{2}\right)}\]

²⁹ 这个结构真是太精妙了, 很难说它是怎么想出来的.

Figure 27: 每根线段代表 \(R\), 电阻树的简化涉及电阻等效和电源等效, 两个节点同时接入电流满足叠加定理

²⁷ 我只想说 PPT 这一章可真够啰嗦的.